3.1.40 \(\int \frac {d+e x^4}{x (a+b x^4+c x^8)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=78 \[ \frac {(b d-2 a e) \tanh ^{-1}\left (\frac {b+2 c x^4}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right )}{4 a \sqrt {b^2-4 a c}}-\frac {d \log \left (a+b x^4+c x^8\right )}{8 a}+\frac {d \log (x)}{a} \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.13, antiderivative size = 78, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 6, integrand size = 25, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.240, Rules used = {1474, 800, 634, 618, 206, 628} \begin {gather*} \frac {(b d-2 a e) \tanh ^{-1}\left (\frac {b+2 c x^4}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right )}{4 a \sqrt {b^2-4 a c}}-\frac {d \log \left (a+b x^4+c x^8\right )}{8 a}+\frac {d \log (x)}{a} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d + e*x^4)/(x*(a + b*x^4 + c*x^8)),x]

[Out]

((b*d - 2*a*e)*ArcTanh[(b + 2*c*x^4)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(4*a*Sqrt[b^2 - 4*a*c]) + (d*Log[x])/a - (d*Log[a + b
*x^4 + c*x^8])/(8*a)

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 628

Int[((d_) + (e_.)*(x_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(d*Log[RemoveContent[a + b*x +
c*x^2, x]])/b, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 634

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))/((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Dist[(2*c*d - b*e)/(2*c), Int[1/(a +
b*x + c*x^2), x], x] + Dist[e/(2*c), Int[(b + 2*c*x)/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] &
& NeQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&  !NiceSqrtQ[b^2 - 4*a*c]

Rule 800

Int[(((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_)))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Int[Exp
andIntegrand[((d + e*x)^m*(f + g*x))/(a + b*x + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g}, x] && NeQ[b^2 -
4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && IntegerQ[m]

Rule 1474

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^(n2_.) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :>
Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(d + e*x)^q*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e, m, n, p, q}, x] && EqQ[n2, 2*n] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {d+e x^4}{x \left (a+b x^4+c x^8\right )} \, dx &=\frac {1}{4} \operatorname {Subst}\left (\int \frac {d+e x}{x \left (a+b x+c x^2\right )} \, dx,x,x^4\right )\\ &=\frac {1}{4} \operatorname {Subst}\left (\int \left (\frac {d}{a x}+\frac {-b d+a e-c d x}{a \left (a+b x+c x^2\right )}\right ) \, dx,x,x^4\right )\\ &=\frac {d \log (x)}{a}+\frac {\operatorname {Subst}\left (\int \frac {-b d+a e-c d x}{a+b x+c x^2} \, dx,x,x^4\right )}{4 a}\\ &=\frac {d \log (x)}{a}-\frac {d \operatorname {Subst}\left (\int \frac {b+2 c x}{a+b x+c x^2} \, dx,x,x^4\right )}{8 a}+\frac {(-b d+2 a e) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b x+c x^2} \, dx,x,x^4\right )}{8 a}\\ &=\frac {d \log (x)}{a}-\frac {d \log \left (a+b x^4+c x^8\right )}{8 a}-\frac {(-b d+2 a e) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{b^2-4 a c-x^2} \, dx,x,b+2 c x^4\right )}{4 a}\\ &=\frac {(b d-2 a e) \tanh ^{-1}\left (\frac {b+2 c x^4}{\sqrt {b^2-4 a c}}\right )}{4 a \sqrt {b^2-4 a c}}+\frac {d \log (x)}{a}-\frac {d \log \left (a+b x^4+c x^8\right )}{8 a}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 0.03, size = 80, normalized size = 1.03 \begin {gather*} \frac {d \log (x)}{a}-\frac {\text {RootSum}\left [\text {$\#$1}^8 c+\text {$\#$1}^4 b+a\&,\frac {\text {$\#$1}^4 c d \log (x-\text {$\#$1})-a e \log (x-\text {$\#$1})+b d \log (x-\text {$\#$1})}{2 \text {$\#$1}^4 c+b}\&\right ]}{4 a} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(d + e*x^4)/(x*(a + b*x^4 + c*x^8)),x]

[Out]

(d*Log[x])/a - RootSum[a + b*#1^4 + c*#1^8 & , (b*d*Log[x - #1] - a*e*Log[x - #1] + c*d*Log[x - #1]*#1^4)/(b +
2*c*#1^4) & ]/(4*a)

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {d+e x^4}{x \left (a+b x^4+c x^8\right )} \, dx \end {gather*}

Verification is not applicable to the result.

[In]

IntegrateAlgebraic[(d + e*x^4)/(x*(a + b*x^4 + c*x^8)),x]

[Out]

IntegrateAlgebraic[(d + e*x^4)/(x*(a + b*x^4 + c*x^8)), x]

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 2.51, size = 240, normalized size = 3.08 \begin {gather*} \left [-\frac {{\left (b^{2} - 4 \, a c\right )} d \log \left (c x^{8} + b x^{4} + a\right ) - 8 \, {\left (b^{2} - 4 \, a c\right )} d \log \relax (x) + \sqrt {b^{2} - 4 \, a c} {\left (b d - 2 \, a e\right )} \log \left (\frac {2 \, c^{2} x^{8} + 2 \, b c x^{4} + b^{2} - 2 \, a c - {\left (2 \, c x^{4} + b\right )} \sqrt {b^{2} - 4 \, a c}}{c x^{8} + b x^{4} + a}\right )}{8 \, {\left (a b^{2} - 4 \, a^{2} c\right )}}, -\frac {{\left (b^{2} - 4 \, a c\right )} d \log \left (c x^{8} + b x^{4} + a\right ) - 8 \, {\left (b^{2} - 4 \, a c\right )} d \log \relax (x) - 2 \, \sqrt {-b^{2} + 4 \, a c} {\left (b d - 2 \, a e\right )} \arctan \left (-\frac {{\left (2 \, c x^{4} + b\right )} \sqrt {-b^{2} + 4 \, a c}}{b^{2} - 4 \, a c}\right )}{8 \, {\left (a b^{2} - 4 \, a^{2} c\right )}}\right ] \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x^4+d)/x/(c*x^8+b*x^4+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/8*((b^2 - 4*a*c)*d*log(c*x^8 + b*x^4 + a) - 8*(b^2 - 4*a*c)*d*log(x) + sqrt(b^2 - 4*a*c)*(b*d - 2*a*e)*log
((2*c^2*x^8 + 2*b*c*x^4 + b^2 - 2*a*c - (2*c*x^4 + b)*sqrt(b^2 - 4*a*c))/(c*x^8 + b*x^4 + a)))/(a*b^2 - 4*a^2*
c), -1/8*((b^2 - 4*a*c)*d*log(c*x^8 + b*x^4 + a) - 8*(b^2 - 4*a*c)*d*log(x) - 2*sqrt(-b^2 + 4*a*c)*(b*d - 2*a*
e)*arctan(-(2*c*x^4 + b)*sqrt(-b^2 + 4*a*c)/(b^2 - 4*a*c)))/(a*b^2 - 4*a^2*c)]

________________________________________________________________________________________

giac [A]  time = 20.63, size = 78, normalized size = 1.00 \begin {gather*} -\frac {d \log \left (c x^{8} + b x^{4} + a\right )}{8 \, a} + \frac {d \log \left (x^{4}\right )}{4 \, a} - \frac {{\left (b d - 2 \, a e\right )} \arctan \left (\frac {2 \, c x^{4} + b}{\sqrt {-b^{2} + 4 \, a c}}\right )}{4 \, \sqrt {-b^{2} + 4 \, a c} a} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x^4+d)/x/(c*x^8+b*x^4+a),x, algorithm="giac")

[Out]

-1/8*d*log(c*x^8 + b*x^4 + a)/a + 1/4*d*log(x^4)/a - 1/4*(b*d - 2*a*e)*arctan((2*c*x^4 + b)/sqrt(-b^2 + 4*a*c)
)/(sqrt(-b^2 + 4*a*c)*a)

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.01, size = 106, normalized size = 1.36 \begin {gather*} -\frac {b d \arctan \left (\frac {2 c \,x^{4}+b}{\sqrt {4 a c -b^{2}}}\right )}{4 \sqrt {4 a c -b^{2}}\, a}+\frac {e \arctan \left (\frac {2 c \,x^{4}+b}{\sqrt {4 a c -b^{2}}}\right )}{2 \sqrt {4 a c -b^{2}}}+\frac {d \ln \relax (x )}{a}-\frac {d \ln \left (c \,x^{8}+b \,x^{4}+a \right )}{8 a} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e*x^4+d)/x/(c*x^8+b*x^4+a),x)

[Out]

1/a*d*ln(x)-1/8*d*ln(c*x^8+b*x^4+a)/a+1/2/(4*a*c-b^2)^(1/2)*arctan((2*c*x^4+b)/(4*a*c-b^2)^(1/2))*e-1/4/a/(4*a
*c-b^2)^(1/2)*arctan((2*c*x^4+b)/(4*a*c-b^2)^(1/2))*b*d

________________________________________________________________________________________

maxima [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Exception raised: ValueError} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x^4+d)/x/(c*x^8+b*x^4+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*a*c-b^2>0)', see `assume?` f
or more details)Is 4*a*c-b^2 positive or negative?

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 5.27, size = 8454, normalized size = 108.38

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d + e*x^4)/(x*(a + b*x^4 + c*x^8)),x)

[Out]

(d*log(x))/a - (log(a + b*x^4 + c*x^8)*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + (atan((128*a^5*x^4*((
(c^4*e^5 - ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(11*b*c^4*e^4 + 9*c^5*d*e^3 - ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*((
(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b
^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 224*b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 -
432*b^2*c^5*d*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 72*a*c^5*e^3 + 16*b^2*c^4*e^3 + 108*b*c^5*d*e^2))/(2*(16*a*b^2
- 64*a^2*c))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) - ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((((2*a*e - b*d)*(((4
*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e
+ 3456*a*b^2*c^5*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e
- b*d))/(16*a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*
d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d)^2)/(128*a^2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2))))
/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^
3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/
2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d))/(16*a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c
- b^2)^(1/2)))*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^
2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e +
3456*a*b^2*c^5*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 224*b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 - 432*b^2*c^5*d*e))/(8*a*(4*a
*c - b^2)^(1/2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((((((((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 1
6*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*
b^2*c^5*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d))/(
16*a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c
*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d)^2)/(128*a^2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)))*(2*a*e - b
*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d)^3)/(1024*
a^3*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(3/2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) - ((((4*b^2*d - 16*a*
c*d)*(((((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576
*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c
^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d))/(16*a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(2
*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*
b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^
2*c)) + 224*b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 - 432*b^2*c^5*d*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^
2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 46
08*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(2*(16*a*b^2 -
64*a^2*c)) + 224*b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 - 432*b^2*c^5*d*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 72*a*c^5*e^3 +
16*b^2*c^4*e^3 + 108*b*c^5*d*e^2))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b
^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d)^4)/(8192*a^4*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2
)^2))*(5*b^5*d - a^3*c^2*e - a*b^4*e - 24*a*b^3*c*d + 23*a^2*b*c^2*d + 3*a^2*b^2*c*e))/(32*a^5*c^4*(a^2*e^2 -
20*b^2*d^2 + 81*a*c*d^2 - a*b*d*e)) - ((((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((((((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280
*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(8
*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d))/(16*a*(16*a*b^2
- 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*
c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d)^2)/(128*a^2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a
*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d)^3)/(1024*a^3*(16*a*b^2
- 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(3/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) - ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*((
(((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^
5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 46
08*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d))/(16*a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(2*(16*a*
b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5
))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) +
224*b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 - 432*b^2*c^5*d*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) +
((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^
3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*
c)) + 224*b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 - 432*b^2*c^5*d*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 72*a*c^5*e^3 + 16*b^2*
c^4*e^3 + 108*b*c^5*d*e^2))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(11*b*c^4*e
^4 + 9*c^5*d*e^3 - ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*
(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e
))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 224*b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 - 432*b^2*c^5*d*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c))
+ 72*a*c^5*e^3 + 16*b^2*c^4*e^3 + 108*b*c^5*d*e^2))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (
(2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))
/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (
(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d))/(16*a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^
(1/2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*
e - b*d)^2)/(128*a^2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((((2*
a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d -
1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*
b^3*c^5)*(2*a*e - b*d))/(16*a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(2*(16*a*b^2 -
64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5))/(2
*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 576*b^3*c^5*d - 1024*b^4*c^4*e + 3456*a*b^2*c^5*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 224*
b^3*c^4*e^2 - 864*a*b*c^5*e^2 - 432*b^2*c^5*d*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(8*a
*(4*a*c - b^2)^(1/2)) - ((1280*b^5*c^4 - 4608*a*b^3*c^5)*(2*a*e - b*d)^5)/(32768*a^5*(4*a*c - b^2)^(5/2)))*(14
4*a^3*c^3*d - 40*b^6*d + 8*a*b^5*e - 488*a^2*b^2*c^2*d + 272*a*b^4*c*d - 40*a^2*b^3*c*e + 40*a^3*b*c^2*e))/(25
6*a^5*c^4*(4*a*c - b^2)^(1/2)*(a^2*e^2 - 20*b^2*d^2 + 81*a*c*d^2 - a*b*d*e)))*(4*a*c - b^2)^(5/2))/(16*a^4*c^4
*e^4 + b^4*c^4*d^4 + 24*a^2*b^2*c^4*d^2*e^2 - 8*a*b^3*c^4*d^3*e - 32*a^3*b*c^4*d*e^3) + (4*(4*a*c - b^2)^(5/2)
*(5*b^5*d - a^3*c^2*e - a*b^4*e - 24*a*b^3*c*d + 23*a^2*b*c^2*d + 3*a^2*b^2*c*e)*(c^4*d*e^4 + ((4*b^2*d - 16*a
*c*d)*(a*c^4*e^4 + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*
b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*a*b^2*
c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*b^2*c^4*d*e^2 - 16*a*b*c^4*e^3))/(2*(16*a*b^2 - 64*
a^2*c)) - 16*b*c^4*d*e^3))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) - ((((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((2*a*e - b*d)*(((2*a*e - b*d)
*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c -
b^2)^(1/2)) + (16*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d))/((16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(
8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (2*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d)^2)/(a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c -
b^2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((2*a*e - b*d)*(256*b^4*c^4*d - 256
*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (16*b^
4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d))/((16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*
c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*
c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*a*b^2*c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(8*a*(4*a*c - b
^2)^(1/2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) - ((((4*b^2*d - 16*a*c
*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((2*a*e - b*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c
*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (16*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d))/((16*
a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(25
6*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16*a*b^2 - 64
*a^2*c)) + 96*a*b^2*c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*
e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^
2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*a*b^2*c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(2*(
16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*b^2*c^4*d*e^2 - 16*a*b*c^4*e^3))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*
a*c - b^2)^(1/2)) + ((2*a*e - b*d)*(((2*a*e - b*d)*(((2*a*e - b*d)*(((2*a*e - b*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*
c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (16*b^4*c^4*(
4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d))/((16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (
2*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d)^2)/(a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(
1/2)) + (b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d)^3)/(4*a^2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(3/2))))/(8*
a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d)^4)/(32*a^3*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c -
b^2)^2)))/(c^4*(a^2*e^2 - 20*b^2*d^2 + 81*a*c*d^2 - a*b*d*e)*(16*a^4*c^4*e^4 + b^4*c^4*d^4 + 24*a^2*b^2*c^4*d
^2*e^2 - 8*a*b^3*c^4*d^3*e - 32*a^3*b*c^4*d*e^3)) + ((4*a*c - b^2)^2*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*
c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((2*a*e - b*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*
c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (16*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d))/((16
*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2
56*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16*a*b^2 - 6
4*a^2*c)) + 96*a*b^2*c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a
*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b
^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*a*b^2*c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(2*
(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*b^2*c^4*d*e^2 - 16*a*b*c^4*e^3))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2
*c)) - ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((2*a*e - b*d)*(((2*a*e - b*d)*(((2*a*e - b*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e
+ (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (16*b^4*c^4*(4*b^2*
d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d))/((16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (2*b^4*
c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d)^2)/(a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))
+ (b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d)^3)/(4*a^2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(3/2))))/(2*(16*a*
b^2 - 64*a^2*c)) - ((((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((2*a*e - b*d)*(((2*a*e - b*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e +
(128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (16*b^4*c^4*(4*b^2*d
- 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d))/((16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (2*b^4*c^
4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e - b*d)^2)/(a*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) +
((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((2*a*e - b*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2
*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + (16*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d)*(2*a*e -
b*d))/((16*a*b^2 - 64*a^2*c)*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + ((2*a*e - b*d)*(((4*b^2*d - 16
*a*c*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16
*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*a*b^2*c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2
)))*(2*a*e - b*d))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) + ((2*a*e - b*d)*(a*c^4*e^4 + ((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(((4*b^2*d -
16*a*c*d)*(((4*b^2*d - 16*a*c*d)*(256*b^4*c^4*d - 256*a*b^3*c^4*e + (128*a*b^4*c^4*(4*b^2*d - 16*a*c*d))/(16*a
*b^2 - 64*a^2*c)))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) + 96*a*b^2*c^4*e^2 - 256*b^3*c^4*d*e))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c))
+ 96*b^2*c^4*d*e^2 - 16*a*b*c^4*e^3))/(2*(16*a*b^2 - 64*a^2*c)) - 16*b*c^4*d*e^3))/(8*a*(4*a*c - b^2)^(1/2)) +
(b^4*c^4*(2*a*e - b*d)^5)/(128*a^4*(4*a*c - b^2)^(5/2)))*(144*a^3*c^3*d - 40*b^6*d + 8*a*b^5*e - 488*a^2*b^2*
c^2*d + 272*a*b^4*c*d - 40*a^2*b^3*c*e + 40*a^3*b*c^2*e))/(2*c^4*(a^2*e^2 - 20*b^2*d^2 + 81*a*c*d^2 - a*b*d*e)
*(16*a^4*c^4*e^4 + b^4*c^4*d^4 + 24*a^2*b^2*c^4*d^2*e^2 - 8*a*b^3*c^4*d^3*e - 32*a^3*b*c^4*d*e^3)))*(2*a*e - b
*d))/(4*a*(4*a*c - b^2)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Timed out} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x**4+d)/x/(c*x**8+b*x**4+a),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________